本單元是學測數學A的必考基石，每年固定出現2-3題，考點集中在餘式定理、因式定理、綜合除法與因式分解。只要掌握四招，就能輕鬆拿分。以下拆解四個主題，帶你逐一擊破。
觀念：多項式除以一次式(x-c)時，傳統長除法步驟繁瑣，綜合除法只計算係數，快又不易錯。
觀念：當除式為一次式 x-a 時，餘式 = f(a)。無需真正相除，直接代入多項式即可。
觀念：若 f(a)=0，則 x-a 是 f(x) 的因式，反之亦然。這是因式分解的重要工具。
觀念：結合因式定理、綜合除法與基礎因式分解技巧，將多項式分解成一次或二次因式乘積，進而解方程式。
| 方法/定理 | 核心公式/步驟 | 適用場合 | 常見錯誤 |
|---|---|---|---|
| 綜合除法 | 僅用係數運算，c 乘積相加 | 除式為 x-c | 未補 0、符號錯誤 |
| 餘式定理 | f(a) = 餘式 | 一次除式求餘式 | 僅用於一次除式 |
| 因式定理 | f(a)=0 ⇔ (x-a)為因式 | 找一次因式或檢驗整除 | 忘記 a 可能是分數 |
| 長除法 | 逐步消去最高次項 | 除式形式不拘，特別是二次以上 | 未對齊同類項 |
| 重點 | 內容 | 考點 | 記憶口訣 |
|---|---|---|---|
| 綜合除法設定 | 除式 x-c 取相反數 c | 符號最易錯 | 「除式變號，係數照排」 |
| 缺項補0 | 被除式降冪排列，少次數補0 | 學測常出缺二次項 | 「缺位補零，一個不能少」 |
| 餘式定理 | f(x)÷(x-a) 餘式=f(a) | 代入求值快速解法 | 「餘式即代值」 |
| 因式定理 | f(a)=0 ⇔ x-a 是因式 | 檢驗因式與待定係數 | 「代零得因式」 |
| 整係數一次因式檢驗 | ax-b，a|首係數，b|常數項 | 搜尋有理根範圍 | 「分數上下夾常首」 |
| 十字交乘 | mn=a, pq=c, mq+np=b | 二次三項式分解 | 「首尾拆積，交叉配中間」 |
| 分組分解 | 兩兩分組提公因式，再提組公因 | 四項式或更高 | 「二分再合一」 |
| 降次法流程 | 因式定理找一次因式→綜合除法降次→分解二次式 | 三次多項式標準SOP | 「找根、降次、十字斬」 |
| 重根檢驗 | 若降次後的商式仍含相同因式，則原多項式有重根 | 學測可能考重根或多重因式 | 「除一次不夠，再除一次」 |
| 非一次除式的餘式 | 除以二次式，餘式必為 ax+b 型 | 用餘式假設待定係數 | 「餘式次數比除式低」 |
答案：(A)
設餘式 R(x)=ax+b，因除式為二次，餘式至多一次。由餘式定理：f(2)=6 ⇒ 2a+b=6；f(−1)=−6 ⇒ −a+b=−6。解聯立得 a=4，b=−2，故餘式為 4x−2，選(A)。
常見錯誤：將條件錯置為 f(2)=−6 或符號運算失誤。
答案：(C)
利用因式定理，檢驗各選項對應的 x 值：
(A) x=−1：f(−1)=−2−3+11+6=12≠0。
(B) x=2：f(2)=16−12−22+6=−12≠0。
(C) 2x−1 ⇒ x=1/2：f(1/2)=2/8−3/4−11/2+6=1/4−3/4−22/4+24/4=0，故為因式。
(D) 2x+3 ⇒ x=−3/2：f(−3/2)=2(−27/8)−3(9/4)+33/2+6=−27/4−27/4+66/4+24/4=36/4=9≠0。
答對關鍵：善用有理根測試，常數項因數為 ±1,±2,±3,±6；首項係數因數為 ±1,±2，可能的一次因式為 (x±整數) 或 (2x±整數)。為避免分數計算，優先測整數值，再測分數。
答對 8 題（67%）解鎖下一堂。
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