🔢 數學 · 第 1 堂
多項式運算 — 學測必考 2-3 題
⏱ 約 25 分鐘📝 12 題深度測驗
📘 明誠：翰林ch2 ｜ 南一ch1 / 龍騰ch1
🤔 多項式到底在考什麼？
先講結論：學測多項式 每年 2-3 題，幾乎不考硬算，考的是「你有沒有看到那個 pattern」。
什麼意思？多項式題目看起來在考代數，實際上在考觀察力——給你 f(1)=0，你有沒有立刻反應「哦所以 (x−1) 是因式」？看到三次多項式，你有沒有反射動作去猜根？
這堂課把這些反射動作練成肌肉記憶。
🔑 核心武器：餘式定理
一句話：f(x) 除以 (x−k)，餘式 = f(k)。就這樣。
聽起來很簡單對吧？但學測不會直接問你「f(x)除以(x−3)餘式是多少」。它會這樣考：
例題：設 f(x)=2x³−5x²+3x−1
f(2) = ？
[ 點我看答案 ]
→ 1
f(2)=2·8−5·4+3·2−1=16−20+6−1=1。這就是餘式。
反過來用：因式定理
如果 f(k)=0，那 (x−k) 就是 f(x) 的因式。這條反過來用更強——猜根。
試試看：f(x)=x³−6x²+11x−6
代 x=1：1−6+11−6=[?]0 ✓
所以 (x−1) 是因式。再猜 x=2：8−24+22−6=[?]0 ✓
再猜 x=3：27−54+33−6=[?]0 ✓
三個根全中！f(x)=(x−1)(x−2)(x−3)。這就是考場上的猜根 SOP。
🧩 因式分解：四招吃遍天
| 模式 | 公式 | 什麼時候用 |
|---|
| 平方差 | a²−b²=(a+b)(a−b) | 兩項相減，都剛好是平方 |
| 十字交乘 | ax²+bx+c=(px+q)(rx+s) | 二次三項式，係數不醜 |
| 立方差 | a³−b³=(a−b)(a²+ab+b²) | x³−8、x³−27 這種 |
| 因式定理 | 猜根→代進去→是0就中了 | 三次以上，係數整數 |
練一下
下面四題，先自己想，想不出來再點開看。
① x²−9 = ？
[ 看解答 ]
→ (x+3)(x−3) ∥ 平方差，a²−3²
② 2x²+7x+3 = ？
[ 看解答 ]
→ (2x+1)(x+3) ∥ 十字交乘：2×3+1×1=7 ✓
③ x³−8 = ？
[ 看解答 ]
→ (x−2)(x²+2x+4) ∥ 立方差：a³−2³
④ x³+3x²−4x−12 = ？
[ 看解答 ]
→ (x−2)(x+2)(x+3) ∥ 猜 x=2→0 ✓，再用綜合除法
⚠️ 學測陷阱 TOP 3
陷阱 1：餘式不是數字，是多項式
這是學測最愛出的題型：
「f(x) 除以 (x−1) 餘 3，除以 (x+2) 餘 −6，求 f(x) 除以 (x−1)(x+2) 的餘式」
很多人直覺寫「餘 3 和 −6」→ 錯。
正確做法：設餘式 = ax+b（除式是二次，餘式最多一次）
f(1)=a+b=3，f(−2)=−2a+b=−6。解聯立。
[ 點我看答案 ]
→ a=3, b=0。餘式 = 3x。
陷阱 2：因式定理的變裝秀
「f(2)=0」→ (x−2) 是因式。這句你應該會。
但學測會換句話說：
• 「f(x) 的圖形通過 (3,0)」→ f(3)=0 → (x−3) 是因式
• 「f(x)=0 有一根為 −1」→ f(−1)=0 → (x+1) 是因式
• 「f(x) 可被 (x−5) 整除」→ f(5)=0 → 廢話
同一件事換三種說法，不要被騙。
陷阱 3：虛根成對定理
「f(x) 是實係數多項式，2+i 是一根」→ 2−i 也是根。
這條只會在難題出現。看到了就偷笑——它來送分的。
[ 為什麼？]
因為實係數多項式的虛根一定成對出現。如果只有一個虛根，乘開後會有虛數係數，矛盾。
⚡ 考場 30 秒判斷流程
題目有 f(某數)=0？→ 立刻寫出對應因式。這是反射動作，不可以想。
題目給兩個 f 值？→ 設餘式 ax+b，代進去解聯立。不要硬拆。
題目給因式求未知係數？→ 代根進去=0，列方程式。不用展開。
題目考實根個數？→ 代值看正負變化（中間值定理）。不要硬解方程式。
實戰一題（自己先做，再對答案）
題目：f(x) 除以 (x−1) 餘 3，除以 (x+2) 餘 −6，求 f(x) 除以 (x²+x−2) 的餘式。
[ 我不會，教我做 ]
Step 1：注意到 x²+x−2 = (x−1)(x+2)。就是那兩個除式的乘積。
Step 2：設餘式 = ax+b（除式是二次，餘式最多一次）。
Step 3：f(1)=a+b=3，f(−2)=−2a+b=−6。
Step 4：解聯立：(1)−(2)：3a=9 → a=3，代回 b=0。
答：餘式 = 3x。
🎮 為什麼要學這個？
不是為了考試。多項式是數學界的瑞士刀：
🎯 遊戲設計：傷害公式、經驗值曲線都是多項式。因式分解幫助設計師調整「某個等級區間特別強」的平衡。
📊 數據擬合：你手機的步數統計、IG 追蹤成長——背後都是多項式逼近。牛頓插值法就是用多項式預測趨勢。
🔐 密碼學：RSA 加密的數學基礎就用到多項式運算和模運算。
考試只是順便。你現在練的每一題，都是在練「看到問題→拆解問題」的思考方式。
📝 深度測驗 12 題
答對 8 題（67%）解鎖下一堂。
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