本單元在學測的定位與考法：學測數學三角函數約佔 2～3 題，常考特殊角值、和角倍角應用、正餘弦定理搭配面積公式。需熟練單位圓記憶三角值，並能快速判斷正負號。近年混合題型常結合幾何圖形，考驗整合能力。
觀念：單位圓是以原點為圓心、半徑為 1 的圓。點 P 坐標 (cosθ, sinθ)，其中 cosθ 為 x 坐標，sinθ 為 y 坐標。特殊角 0°, 30°, 45°, 60°, 90° 的三角值來自標準直角三角形，必須直接記憶。
sin(-θ) = -sinθ，sin為奇函數；cos(-θ)=cosθ，cos為偶函數。單位圓上，角度反向相當於對x軸鏡射，y坐標變號，x坐標不變。因此sin值變號，cos值不變。🔥考點：化簡負角時常考選擇題。
觀念：和角公式是將兩個角度的三角函數展開，學測必考。倍角公式是和角公式的特例，能簡化許多方程式。
sin(A±B)=sinAcosB±cosAsinB，符號一致；cos(A±B)=cosAcosB∓sinAsinB，符號相反。口訣：「cos先正後負」。務必小心！倍角公式也常因符號出錯。
觀念：用於解任意三角形邊角關係。正弦定理適用對邊對角成比例，餘弦定理為畢氏定理的推廣。
當題目給兩角一邊(AAS或ASA)用正弦定理；給兩邊夾角(SAS)或三邊(SSS)用餘弦定理；給兩邊及一邊對角(SSA)須正弦定理且注意多解。學測混合題常合併使用，先正弦求一邊，再用餘弦求角。
觀念：平方關係、商數關係與衍生式是代數化簡的核心，可結合和角、倍角求極大極小值。
sin²θ+cos²θ=1 可寫成 (sinθ+cosθ)² -2sinθcosθ=1，進而求sinθcosθ。這是學測熱門手法，務必熟練。注意sinθ+cosθ的範圍為[-√2, √2]。
| 重點 | 內容 | 考點 | 記憶口訣 |
|---|---|---|---|
| 特殊角30°系列 | sin30°=1/2, cos30°=√3/2, tan30°=1/√3 | 30-60-90三角形 | 1、√3、2（邊長），sin對邊/斜邊 |
| 特殊角45° | sin45°=√2/2, cos45°=√2/2, tan45°=1 | 等腰直角三角形 | 兩邊相等，sin=cos |
| 特殊角60°系列 | sin60°=√3/2, cos60°=1/2, tan60°=√3 | 配合30°，互餘關係 | sin60°=cos30° |
| 廣義角轉換 | sin(180°-θ)=sinθ, cos(180°-θ)=-cosθ | 將鈍角化為銳角 | 「一全二正三切四餘」 |
| 平方恆等式 | sin²θ+cos²θ=1 | 已知sin求cos，注意正負 | 「sin平方加cos平方等於1」 |
| 和角公式 sin | sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB | 求sin75°等 | 「散摳散，摳散」 |
| 和角公式 cos | cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB | 注意負號 | 「摳摳，散散，變號」 |
| 倍角公式 | sin2θ=2sinθcosθ, cos2θ=cos²θ-sin²θ=2cos²θ-1=1-2sin²θ | 常用於解方程式 | 「二倍角，降次升角」 |
| 正弦定理 | a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R | 求邊長、外接圓半徑 | 「邊對角正弦成比例」 |
| 餘弦定理 | a²=b²+c²-2bc cosA | 已知三邊求角，或兩邊夾角求對邊 | 「畢氏定理加修正項」 |
答案：(B)
先求∠C = 180° - 30° - 105° = 45°。由正弦定理 a/sinA = c/sinC ⇒ 8/(1/2) = c/(√2/2) ⇒ 16 = c/(√2/2) ⇒ c = 16 × (√2/2) = 8√2。選(A)者誤用cos混淆；(C)誤將∠C當成60°；(D)算錯倍數。
答案：(A)
cos165° = cos(180°-15°) = -cos15°。cos15° = cos(45°-30°) = cos45°cos30° + sin45°sin30° = (√2/2)(√3/2)+(√2/2)(1/2) = (√6+√2)/4，故 cos165° = -(√6+√2)/4。(C)為常見符號錯誤，以 sin 公式計算導致；(B)為直接誤用 sin15° 的值；(D)忘記補負號。
答對 8 題（67%）解鎖下一堂。
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