🔢 數學 · 第 2 堂
指數與對數 — 計算題核心
⏱ 約 25 分鐘📝 12 題深度測驗
📘 明誠：翰林ch3 ｜ 南一ch2 / 龍騰ch2
🤔 指數對數在考什麼？
學測指對數 1-2 題，幾乎不考證明，考的是「你有沒有背那兩個數字」：log₂≈0.301，log₃≈0.477。
只要會這兩個數字+換底公式，指對數就是送分題。
🔑 核心：對數其實就是「幾次方」
log₁₀1000 = 3，因為 10³ = 1000。
對數就是在問你：「10 的幾次方會變成這個數？」
必背數值
| log 2 | log 3 | log 5 | log 7 |
|---|
| 0.3010 | 0.4771 | 0.6990 | 0.8451 |
log5 不用背：log5=log(10/2)=1−log2=0.699。考場上自己推。
換底公式——最強武器
logₐb = log₁₀b / log₁₀a
任何底數的對數，全部換成以 10 為底，用 log2, log3 硬算。
試試看：log₂5 = ？
[ 點我看 ]
→ log5/log2 = 0.699/0.301 ≈ 2.32
⚠️ 三大陷阱
陷阱 1：log(a+b) ≠ log a + log b！
對數只能拆「乘除」不能拆「加減」。這是學測最常見的送頭選項。
陷阱 2：位數判斷
「2³⁰ 是幾位數？」log(2³⁰)=30×0.301=9.03。首數 9+1=10 位數。
口訣：logX 的首數+1 = X 的位數。
陷阱 3：首數 vs 尾數
logX = n + α（n 整數首數，0≤α<1 尾數）
X 的位數 = n+1。logX < 0 時首數是負整數，小心！
📐 實戰練習
地震規模差 1 級，能量差幾倍？
芮氏規模 M = log(E/E₀)。M 差 1 → E 差 10^1.5 ≈ 31.6 倍。
[ 怎麼算的？]
M₂−M₁ = log(E₂/E₁) = 1 → E₂/E₁ = 10^1 = 10？不對。M 的公式裡有個 1.5 的係數。實際上能量 E ∝ 10^(1.5M)，所以 M 差 1 → E 差 10^1.5 ≈ 31.6 倍。
📝 深度測驗 12 題
答對 8 題（67%）解鎖下一堂。
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