學測排列組合每年穩定出題，尤其是邏輯判斷與分類討論的題型，考生常因「漏算」或「重複計算」大量失分。本堂針對四大核心技巧，帶你精準拆解題意，條件一讀就懂，式子一列就對。
觀念：當一個事件可以分成若干互不重疊的情況完成時，總方法數為各情況方法數之和。關鍵在於找到「不重不漏」的分類標準。遇到「至少…」或複雜條件時，可反向利用全部扣除不符合，使計算簡化。
可以。例如：甲偶乙奇 5×5＝25，甲奇乙偶 5×5＝25，甲偶乙偶 5×5＝25，總計 75。但若題目改為三人乘積為偶數，反面仍只需「全奇」，正面則需討論一偶、二偶、三偶等，反面明顯更簡潔。學測常利用這種「至少…」包裝，訓練判斷何時用反面。
觀念：將相異物品分成若干堆，若堆的大小相同且無標記（沒指定誰拿哪堆），視為「分堆」，必須除以相同堆數的階乘；若分配給不同的人、位置或箱子，則不除，直接乘組合數。
若各堆數量不同，即使沒有標記，也不需除以組合排列，因為堆本身可依數量自然區分。例如將 7 人分成 3,2,2 三組，其中兩個 2 人組大小相同，僅這兩組要小心：先選 3 人 C(7,3)，再選 2 人 C(4,2)，再選 2 人 C(2,2)，此時兩個 2 人組有互換可能，所以要除以 2!。規則為：每次出現 k 個相同大小的組，就多除一個 k!。
觀念：n 個元素重新排列，沒有任何元素留在原來位置的排列數稱為錯排列 Dn。公式可由排容原理導出：Dn＝n! (1－1/1!＋1/2!－1/3!＋…＋(-1)n/n!)。學測常考 n＝3,4,5，可背誦 D3＝2，D4＝9，D5＝44。
先選出放對的元素，其餘元素全錯位。例如 5 封信恰有 2 封放對，其餘 3 封放錯：C(5,2)×D3＝10×2＝20 種。這種「部分錯位」題型只要掌握好組合選取與錯位乘積，就能秒殺。
觀念：從 n 類「相同」物品中取出 r 個的組合數，對應方程式 x1＋x2＋…＋xn＝r 的 非負整數解 個數為 Hnr＝C(n＋r－1, r)。若題目要求每類至少取一件，先各給一件，轉化為非負整數解。
因為我們只關心每類物品「出現幾次」，不關心哪一個實體球，所以本質是重複組合。隔板法能直觀解釋：r 個球排好，插入 (n－1) 個隔板分成 n 份，總位置數為 r＋(n－1)，從中選隔板位置即為 C(r＋n－1, n－1)。
| 對照項目 | 排列 (P) | 組合 (C) |
|---|---|---|
| 順序 | 有序，先後有別 | 無序，僅關心組成 |
| 公式 | P(n,r)＝n!/(n－r)! | C(n,r)＝n!/(r!(n－r)!) |
| 典型關鍵字 | 排成一列、分配職務、密碼 | 選出、組隊、握手 |
| 分堆 vs 分配 | 分堆（無標記） | 分配（有標記） |
| 等量分組 | 先 C 相乘後除相同組數階乘 | 直接 C 相乘，不除 |
| 舉例 | 6 人平分 2 組 → C(6,3)C(3,3)/2! | 6 人平分給甲、乙兩隊 → C(6,3)C(3,3) |
| 重複排列 vs 重複組合 | 重複排列 | 重複組合 |
| 物品 | 相異物，選出可重複，順序重要 | 相同物，選出僅看數量 |
| 實例 | 3 位數密碼，數字可重複 → 103 | 3 種糖果買 10 顆 → H310 |
| 技巧 | 用法 | 考點 | 記憶口訣 |
|---|---|---|---|
| 加法原理 | 互斥情況直接相加 | 分類不重疊，涵蓋所有情況 | 「分類清楚，互斥相加」 |
| 乘法原理 | 連續步驟相乘 | 步驟獨立，順序固定 | 「步步相依，連續相乘」 |
| 排列 P | 從 n 取 r 有序排列 | 有順序、職位、隊伍排列 | 「排列有序，選了還要排」 |
| 組合 C | 從 n 取 r 無序選取 | 純選出、組隊、無順序 | 「組合無序，選了就成隊」 |
| 分堆除階乘 | 等量分組無標記 | 除以相同組數的階乘 | 「分堆要除，相同組數除階乘」 |
| 錯位排列 Dn | 排容原理或背值 | D3=2、D4=9、D5=44 | 「小三2 小四9 小五44」 |
| 重複組合 H | 相同物分不同箱 | 非負整數解 Hnr=C(n+r-1,r) | 「相同物不同箱，隔板法解非負」 |
| 圓排列 | n 人圍圓桌，(n-1)! | 先固定一人，其餘線性排 | 「圓桌固定一人，其餘線性排」 |
| 不盡相異物排列 | 相同物排列，除以重複階乘 | n!/(a!b!…) | 「相同物排列，除以重複階乘」 |
| 排容原理 | 至少一滿足，加單減雙再加三 | 計算聯集元素個數 | 「排容算併集，加加減減要對稱」 |
答案：（A）105（選項誤植應為 105，題中選項所示數字請以解析為準，正式考試數字將正確對應；本題欲呈現邏輯：8 人平分 4 組每組 2 人無標記，方法數 C(8,2)×C(6,2)×C(4,2)×C(2,2) / 4! = (28×15×6×1)/24 = 105。）（若選項修正為(A)105 (B)2520 (C)5040 (D)40320，則答案為A。）
【逐選項解析】
− (A) 105：正確，分堆要除以 4!，計算如上。
− (B) 2520：未除階乘的直接乘積 2520，考生常誤認為分完即完成，忽略組與組的互換。
− (C) 5040：取 C(8,2)×C(6,2)×C(4,2)×C(2,2) 再乘 1/2! 的錯誤，只考慮局部對稱。
− (D) 40320：8!，全排列，完全忽略組合與分組概念。
答案：（B）
【逐選項解析】
− (B) 15：正確。每箱先放 2 顆，用掉 6 顆，剩 4 顆分配給 3 個不同箱子（可空箱），非負整數解 H34＝C(3+4-1,4)＝C(6,4)＝15。
− (A) 36：未考慮每箱至少 2 顆，直接用允許空箱的總方法 H310＝C(12,10)＝66？非也，36 來自 10 顆球每箱至少 0 的錯誤計算 H310＝C(12,10)=66，或者將「至少 1 顆」算成 C(9,2)=36（隔板直接插縫），屬典型誘答。
− (C) 28：以重複排列 3球數 或 C(8,2) 等錯誤模型製造。
− (D) 6：僅計算每箱先放 2 顆後，誤用排列想法直接 3×2×1，過度簡化。
答對 8 題（67%）解鎖下一堂。
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