學測混合題很愛結合「生活情境」或「幾何圖形」，但核心都離不開「點到直線距離公式」與「畢氏定理」。對於直線與圓，學測根本不是考你複雜的計算，而是考你有沒有看出那把隱藏的直角三角尺！以下四大技巧點，讓你見招拆招。
觀念： 直線方程式一定要整理成一般式 $$ax + by + c = 0$$，把點座標代入左式取絕對值，再除以 $\sqrt{a^2+b^2}$。這就是你在考場上的尺規！
觀念： 判別目標點 P 與圓的關係是根本！點在圓內（$$d < r$$）：沒有切線。點在圓上（$$d = r$$）：一條切線。點在圓外（$$d > r$$）：兩條切線。
觀念： 直線與圓相割，必有弦。圓心到直線的距離 d（弦心距）、半徑 r、半弦長 L，構成一個完美的黃金直角三角形。
觀念： 學測極愛考「圓上動點到直線的最短與最長距離」或是「兩圓位置關係」。圓上一點到直線的最短距離 = $$d - r$$，最長距離 = $$d + r$$。而兩圓關係則看連心線長與 $$r_1 \pm r_2$$ 的大小關係。
| 情境 | 圓心到直線距離 d | 與半徑 r 比較 | 交點數(切線數) |
|---|---|---|---|
| 相離 | d > r | 無交點 | 0 |
| 相切 | d = r | 1 個切點 | 1 |
| 相割 | d < r | 2 個交點 | 2 |
| 核心技巧 | 公式/用法 | 🔥 學測考點 | 記憶口訣 |
|---|---|---|---|
| 點到直線距離 | $d = \frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$ | 一般式右側必為 0；常與圓心距離合用 | 代入，絕對，除以根號 |
| 過圓上一點切線 | $x_1x + y_1y + D\frac{x+x_1}{2} +...$ | 僅限點在「圓上」！ | 代一半：平方換積，一次換平均 |
| 過圓外一點切線 | 設 $y - k = m(x - h)$ $d_{o-L} = r$ 解出 m | 必有兩條，務必檢查垂直線 （斜率不存在） | 點斜式，解二次，垂直要檢查 |
| 弦長硬公式 | $L = \sqrt{r^2 - d^2}$ （半弦長） | 答案要寫 2L，千萬別漏乘 2 | 畫三角，畢氏定理，雙倍回傳 |
| 最短/最長距 | $d_{min} = |d - r|$ $d_{max} = d + r$ | 題目常問圓上動點到直線極值 | 大收小放，垂足通過圓心 |
| 切點弦（極線） | 形式同「代一半」，但點在圓外 | 極線方程式是兩切點的連線 | 外點直接代，得一線過兩切點 |
| 兩圓關係 | 連心距 vs $r_1 \pm r_2$ | 外切/內切/相交的判別 | 連心距，比和差，圖解不複雜 |
| 配方法求圓心 | $x^2+y^2+Dx+Ey+F=0$ $(\frac{-D}{2}, \frac{-E}{2})$ | $D^2+E^2-4F > 0$ 才為圓 | 配方小心係數變號，半徑開根不負 |
答案：(A)
(A) 將圓方程式配方得 $(x-1)^2+(y+2)^2 = 1+4+4 = 9$，故半徑 $r=3$。正確。
(B) 圓心為 $(1,-2)$，到直線 L 的距離 $d = \frac{|3(1)+4(-2)+5|}{\sqrt{3^2+4^2}} = \frac{|3-8+5|}{5} = 0$。錯誤。
(C) 因為 $d=0 < r=3$，代表直線穿過圓心（相割），並非相切。錯誤。
(D) 最短距離公式為 $|d - r| = |0 - 3| = 3$，並非 2。錯誤。
答案：(A)(B)
圓 $C_1$：圓心 $O(0,0)$，半徑 $R=2$。
圓 $C_2$：圓心 $A(3,4)$，半徑 $r$。連心線長 $\overline{OA}=5$。
兩圓相交於兩點的條件為 $|R-r| < \overline{OA} < R+r$。
代入得 $|2-r| < 5 < 2+r$。
解前段：$5 < 2+r \Rightarrow r > 3$。
解後段：$|2-r| < 5 \Rightarrow 7 > r > -3$。取 $r>0$ 交集得 $3 < r < 7$。故 (A) 正確。
(B) 兩圓相交，其連心線段必為公弦之垂直平分線。此為幾何定理，正確。
(C) 若 $r=8$，則 $r-R=6$。此時 $6 > 5$，代表 $|R-r| > \overline{OA}$，兩圓為內離關係，無交點。錯誤。
(D) 當 $r \to 3$（極限接近 3）時，弦長趨近於 0。當 $r$ 在 $(3,7)$ 內，弦長 $PQ$ 的最大值發生在何處？根據公弦長公式分析，最長弦並非固定為 4。且當 $r$ 接近 7 時，弦長也會縮短。最大值小於直徑 4。故「最大值為 4」錯誤。
答對 8 題（67%）解鎖下一堂。
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