學測數學中指數與對數幾乎年年出現，常結合生活情境，例如地震規模、pH值、貸款利率等。掌握對數律、換底公式與首數尾數，就能輕鬆拿下計算題分數。本節帶你逐一擊破四大主題：指數對數律、換底連鎖律、位數判斷、生活應用。
指數律是對數的基礎，對數律則是將乘除轉為加減的利器。務必熟練底數 a>0, a≠1，且真數 N>0。
絕對不行！log(a+b) 沒有公式可拆解，學生常誤用成 log a + log b。只有真數相乘除才能分拆。遇到對數內加法時，應嘗試因式分解或另尋他法，別跳進陷阱。
換底公式可將不同底數的對數轉換成相同底數，便於計算或查表；連鎖律則能快速消去中間底數，簡化乘積。
互為倒數：log_a b = 1 / log_b a。這是換底公式的延伸，常考快速化簡對數乘積。小心不要弄混分子分母。
任一正數 x 可用科學記號表示為 a × 10^n（1 ≤ a < 10），則 log x = n + log a，其中 n 為整數（首數），0 ≤ log a < 1（尾數）。首數決定位數，尾數決定最高位數字。
若 x < 1，例如 x=0.00023，log x ≈ −3.6383 = −4 + 0.3617，首數為 −4，表示小數點後第 4 位開始不為 0。此時「位數」指的是小數點後第 |n| 位出現第一個非零數字，不要說成「−4 位」。
對數尺度在科學和金融上廣泛使用。地震規模 M 是對數尺度，每增 1，振幅增 10 倍，能量約增 31.6 倍。pH 值定義為 −log[H⁺]，複利則藉取對數解年數。
能量 E 和振幅 A 的關係並非線性，由經驗公式 log E ∝ 1.5 M，所以能量倍數 = 10^(1.5ΔM)。學測選項常混用振幅倍數與能量倍數，務必清楚區分：振幅比是 10^(ΔM)，能量比是 10^(1.5ΔM)。
| 重點 | 內容 | 考點 | 記憶口訣 |
|---|---|---|---|
| 指數律 | a^m·a^n = a^(m+n) 等 | 合併指數型 | 底同指數加減 |
| 對數律 | log_a(MN) = log_a M + log_a N | 乘除轉加減 | 真乘對加 |
| 換底公式 | log_a b = log b / log a | 統一底數求值 | 上真下底 |
| 連鎖律 | log_a b · log_b c = log_a c | 消去中間底數 | 中間消掉 |
| 首數尾數 | log x = n + α，n∈Z，0≤α<1 | 位數與首位 | 首數位數尾首位 |
| log2、log3 | log2≈0.3010，log3≈0.4771 | 計算基礎 | 2 三零么 3 四七七么 |
| 科學記號 | x = a × 10^n，1≤a<10 | 對數求首尾 | 首位 1 到 9 |
| 芮氏規模 | M = log A − log A₀ | 振幅倍數 | 規模差 1 振幅 10 倍 |
| 能量公式 | log E = 11.8 + 1.5 M | 能量倍數 | 1.5 倍次方 |
| pH 值 | pH = −log[H⁺] | 濃度比較 | 負對數氫離子 |
答案：(B)
log x = 100 × log2 ≈ 100 × 0.3010 = 30.10。首數 30，故 x 為 31 位數，排除 (A)。尾數 0.10，因 10^0.1 ≈ 1.2589，最高位數字為 1，非 2。故 (B) 正確，(C) 錯誤，(D) 位數 32 錯誤。
答案：(B)
振幅比 = 10^(8−6) = 10^2 = 100 倍；能量比 = 10^(1.5×(8−6)) = 10^3 = 1000 倍。故 (B) 正確。(A) 振幅錯，(C) 能量錯（31.6 為規模差 1），(D) 兩者皆錯。
答對 8 題（67%）解鎖下一堂。
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