📐 · 第 5 堂
三角比與週期 — 邊角轉換與圖形伸縮全破解
⏱ 約 30 分鐘📝 12 題深度測驗
各位同學，學測三角比最常考的就是「給一個條件，算出另一個三角比」。這背後只靠兩件事：邊角轉換的直角三角形比例，以及廣義角的象限正負。
到了圖形伸縮，重點不再是背函數形狀，而是看懂 y=A sin(kx+b)+C 中，A、k、b、C 各自扮演什麼角色。
📖 一、核心解析
1. 廣義角與象限判讀
把角放上坐標平面，始邊是 x 軸正向，終邊繞原點轉。終邊落在第幾象限，就是第幾象限角。三角比的正負由終邊上的點 (x,y) 決定：sinθ=y/r，cosθ=x/r，tanθ=y/x。
「一全、二正、三切、四餘」：第一象限全部為正，第二象限 sin 為正，第三象限 tan 為正，第四象限 cos 為正。
為什麼第二象限只有 sin 為正？
因為第二象限 x<0、y>0，而 r>0。所以 sinθ=y/r>0，cosθ=x/r<0，tanθ=y/x<0。2. 邊角轉換：設比例、補第三邊
若 sinθ=3/5，代表對邊：斜邊=3:5，可設對邊=3a、斜邊=5a，則鄰邊=√(25a²-9a²)=4a。下一步只看象限決定 cos、tan 的正負。
「先設比例、再畫象限、最後定正負」，是解所有邊角轉換的標準流程。
sinθ=3/5 時，θ 在第一與第二象限的差別？
第一象限的 cos=4/5、tan=3/4；第二象限的 cos=-4/5、tan=-3/4。邊長比例相同，正負由象限決定。3. 單位圓與週期
單位圓上 P=(cosθ, sinθ)，θ 轉一圈回到原點，所以 sin、cos 的基本週期是 360°；tan=sinθ/cosθ，因為分子分母同時變號，所以 θ+180° 時比值不變，基本週期是 180°。
tan 的週期為什麼不是 360°？
tan(θ+180°)=sin(θ+180°)/cos(θ+180°)=(-sinθ)/(-cosθ)=tanθ，所以 tan 只需 180° 就重複一次。4. 圖形伸縮：A、k、b、C 全解析
對 y=A sin(kx+b)+C：振幅=|A|，週期=360°/|k|（弧度為 2π/|k|），水平平移=-b/k，垂直平移=C。C 是中心線，A 決定高低範圍。
口訣：先提 k，再看平移；週期永遠除以 |k|。
為什麼相位平移不是 -b 而是 -b/k？
因為 kx+b = k(x+b/k)，真正造成 x 平移的是括號內的 b/k，方向相反。5. 恆等式快速化簡
sin²θ+cos²θ=1、tanθ=sinθ/cosθ，這兩個關係式可以互換三角比，也能處理 sin、cos 的一次/二次代數式。
另外，負角與補角關係常用在對稱性：sin(-θ)=-sinθ 是奇函數；cos(-θ)=cosθ 是偶函數；sin(180°-θ)=sinθ 解釋了第二象限 sin 為正。
🔤 二、重點表
| 類型 | 公式 / 定義 | 週期 | 伸縮判讀 |
|---|
| sin θ | 對邊 / 斜邊 | 360°（2π） | y=A sin(kx)：振幅 |A|，週期 360°/|k| |
| cos θ | 鄰邊 / 斜邊 | 360°（2π） | y=A cos(kx)：與 sin 差水平平移 90° |
| tan θ | 對邊 / 鄰邊 | 180°（π） | y=A tan(kx)：無振幅，週期 180°/|k| |
| csc θ | 斜邊 / 對邊 | 360°（2π） | y=A csc(kx)：sin=0 處有垂直漸近線 |
| sec θ | 斜邊 / 鄰邊 | 360°（2π） | y=A sec(kx)：cos=0 處有垂直漸近線 |
| cot θ | 鄰邊 / 對邊 | 180°（π） | y=A cot(kx)：與 tan 差水平平移 90° |
| 平方關係 | sin²θ+cos²θ=1 | 恆等式 | 可將二次式化簡，簡化伸縮後判讀 |
| 商數關係 | tanθ=sinθ/cosθ | 恆等式 | tan 為奇函數，圖形對稱原點 |
| 餘角關係 | sin(90°-θ)=cosθ | 恆等式 | sin、cos 圖形平移 90° 可互換 |
| 負角關係 | sin(-θ)=-sinθ | 奇函數 | sin 對稱原點；cos 對稱 y 軸 |
| 補角關係 | sin(180°-θ)=sinθ | 恆等式 | 第二象限 sin 仍正，cos 變號 |
| 週期函數式 | f(θ+P)=f(θ) | 基本週期 P | 伸縮後 P'=P/|k| |
🎯 三、SOP：5個核心步驟
Step 1 象限定位：把角度畫在坐標平面上，先確定終邊在第幾象限，並寫下該象限的正負規則。
Step 2 找參考角：用與 x 軸的夾角找出 30°、45°、60° 的對應值，再把符號還原。
Step 3 設比例補邊：遇到 sinθ=3/5 這類條件，設對邊、斜邊比例，用畢氏定理求出第三邊。
Step 4 圖形伸縮：y=A sin(kx+b)+C 一律先看 |A|、再看 k，寫成 k(x+b/k) 判平移方向；週期=2π/|k|。
Step 5 代回驗證：把求出的函數或數值代回原式，或用單位圓檢查正負，避免計算錯誤。
📝 四、實戰演練
例題 1（邊角轉換）：已知 sinθ=3/5，且 90°<θ<180°，求 tanθ。
解析：sinθ=3/5 可設對邊=3a、斜邊=5a，鄰邊=4a。因為 θ 在第二象限，cosθ=-4/5，因此 tanθ=sinθ/cosθ=(3/5)/(-4/5)=-3/4。
例題 2（圖形伸縮）：求 y=3sin(2x-π/3)+1 的振幅、週期、水平平移與值域。
解析：振幅=|3|=3；週期=2π/2=π；將 2x-π/3 改寫為 2(x-π/6)，所以水平向右平移 π/6；中心線 y=1，值域為 [1-3, 1+3]=[-2,4]。