📐 · 第 6 堂
三角測量 — 情境題最愛
⏱ 約 30 分鐘📝 12 題深度測驗
📖 核心思維：三角測量是把文字敘述「畫成三角形」，再用正弦、餘弦定理求未知邊角。學測情境題看似靈活，其實解題路徑完全相同。
📐 正弦定理：a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R。適合「已知兩角與一邊」或「已知兩邊與一角」的題型。
📏 餘弦定理：c² = a² + b² − 2ab·cosC。適合「已知兩邊與夾角」或「已知三邊求角」的題型。
👀 仰角與俯角：視線在水平線上方為仰角，下方為俯角。仰角與俯角是平行線的內錯角，兩者相等，畫圖時可互相轉換。
🧭 方位角：先確定「參考方向」再旋轉。例如「東偏北30°」是從東軸往北轉30°；換算三角形內角時，務必先畫十字方向線。
🏔️ 高度模型：若底部可達，直接用 tan；若底部不可達，需在兩個觀測點測仰角，再用正弦定理求斜距，最後分解高度。
🌊 河寬模型：在岸上取一段基線，測兩端點到對岸目標的夾角，形成三角形，再利用正弦定理或面積公式求垂直距離。
⚠️ 學測陷阱：算出角度後要檢查對邊是否對應正確；三邊求角時先找最大邊對應之角；題目給「方位」別直接當三角形內角。
為什麼仰角＝俯角？
觀測者與目標之間的水平線互相平行，仰角與俯角正是「平行線被一條斜線所截」的內錯角，所以角度相等。
正弦定理怎麼記？
口訣：「各邊比上自己對角的正弦值」。也就是 a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R，R 是外接圓半徑。
何時用餘弦定理？
看到「兩邊夾一角」或「三邊」就用餘弦定理；看到「兩角一邊」則優先用正弦定理，這樣計算最簡潔。
🔤 重點表：三角測量常見模型
| 情境 | 已知條件 | 核心做法 | 學測提醒 |
|---|
| 測山高（底部可達） | 仰角θ、水平距離d | h = d·tanθ | 確認仰角是對水平線量 |
| 測山高（底部不可達） | 兩仰角α、β，兩觀測點距離d | 正弦定理求斜距，再乘sin | 兩觀測點需在同一鉛垂面 |
| 測河寬 | 基線長與兩端點夾角 | 正弦定理或面積公式求高 | 河寬是垂直距離，不是斜邊 |
| 兩點互測方位 | 基線長與兩個方位角 | 方位角轉內角，用餘弦定理 | 先畫十字方向線 |
| 已知兩角一邊 | 任兩角與任一邊 | 正弦定理 | 第三角用180°算出 |
| 已知兩邊夾角 | 兩邊a、b，夾角C | 餘弦定理求c | 夾角是c的對角 |
| 已知三邊 | 三邊a、b、c | 餘弦定理求任一角 | 最大邊對應最大角 |
| 三角形面積 | 兩邊a、b，夾角C | 面積 = ½ab·sinC | 也可反推高 |
| 外接圓半徑 | 任一角與對邊 | a = 2R·sinA | R是外接圓半徑 |
| 飛機／船的距離 | 速度、時間與方位夾角 | 距離＝速率×時間，再用餘弦定理 | 夾角要取兩方位射線的夾角 |
🎯 解題SOP
STEP 1：畫圖
把題目中的點、線、角度畫出來，水平線與鉛垂線一定要標清楚。
STEP 2：標角與標邊
將仰角、俯角、方位角換成三角形內角；已知長度標在對應邊上。
STEP 3：選定理
兩角一邊→正弦定理；兩邊夾角或三邊→餘弦定理；求面積→½ab·sinC。
STEP 4：處理方位角
先把「東偏北」「北偏東」轉成與正東或正北的夾角，再決定三角形內角。
STEP 5：計算與驗算
最後答案要檢查單位、是否合理；含根號時可估算，避免離譜誤差。
📝 實戰演練
實戰 1：河寬測量
在河岸A點測得對岸樹B的方位為北偏東30°，沿河岸向東走60公尺到C點，再測B的方位為北偏西60°，求河寬。
解析：畫圖可知∠BAC=60°，∠ACB=30°，所以∠ABC=90°。AC=60為斜邊，AB=60·sin30°=30，BC=60·sin60°=30√3。河寬為B到AC的垂直距離，利用面積：½×AB×BC=½×AC×h，得h=(30×30√3)/60=15√3。因此河寬為15√3公尺。
實戰 2：山高測量（底部不可達）
A、B、C三點共線，C為山腳，A在B與C之間，且AB=100公尺。在A測山頂P仰角45°，在B測仰角30°，求山高。
解析：因為A較靠近山腳，∠PAB=180°−45°=135°，∠ABP=30°，∠APB=15°。由正弦定理：AP/sin30°=100/sin15°，AP=50/sin15°=50(√6+√2)。山高h=AP·sin45°=50(√6+√2)×(√2/2)=50(√3+1)。因此山高為50(√3+1)公尺。