學測中向量考題看似變化多端，但其實只圍繞三個核心：分點公式、內積、行列式面積。掌握這三套工具，再搭配坐標化，幾乎所有幾何題都能轉為代數計算，穩定拿分。本堂拆解四大技巧，帶你攻克學測向量題。
觀念：若點P在A、B所決定的直線上，且O為任意原點，則必有實數α、β使得 OP = α OA + β OB，且α + β = 1。若P在線段AB上，則α,β ≥ 0。這個性質可雙向使用：給定比例求點，或由係數求比例。
觀念：兩向量a=(x₁,y₁), b=(x₂,y₂)的內積 a·b = x₁x₂ + y₁y₂ = |a||b|cosθ。因此，只要知道內積與長度，就能求出夾角；內積為0則兩向量垂直。內積還是求投影量的基礎：a在b方向的正射影長 = |a·b|/|b|。
觀念：設向量u=(a,b), v=(c,d)，則二階行列式 det(u,v) = ad - bc，其絕對值代表u、v所張平行四邊形的面積。三角形面積 = ½|det(AB, AC)|。特別地，det(u,v)=0 ⇔ u與v平行 ⇔ 三點共線。
觀念：遇到點與線的距離、對稱點、投影點，或圖形較複雜的幾何題，可先建立坐標系，將點賦予坐標，再把題目條件轉成向量等式，最後用內積、行列式、分點公式求解。如此可避免純幾何的複雜思考。
| 公式名稱 | 表達式 | 用途 | 記憶口訣 |
|---|---|---|---|
| 內分點公式 | P = (nA + mB)/(m+n)，AP:PB=m:n | 求線段上的分點 | 遠交近攻，對邊係數 |
| 外分點公式 | P = (-nA + mB)/(m-n) 等 | 求延長線上的點 | 外分用減，注意方向 |
| 三點共線條件 | OC = αOA + βOB 且 α+β=1 | 判斷共線、求係數 | 係數和1，共線保證 |
| 內積坐標公式 | a·b = x₁x₂ + y₁y₂ | 求夾角、垂直、投影 | 坐標乘加等於模模cos |
| 夾角公式 | cosθ = (a·b) / (|a||b|) | 求兩向量夾角 | 內積除以模長積 |
| 正射影長 | |a|cosθ = |a·b|/|b| | 求投影量 | 內積除以對方模長 |
| 正射影向量 | proj_b a = (a·b/|b|²) b | 求投影向量本身 | 內積除以模方再乘向量 |
| 行列式面積（△） | ½ |det(AB, AC)| | 已知三點坐標求面積 | 交叉乘相減、半絕對值 |
| 柯西不等式 | (a·b)² ≤ |a|²|b|² | 求極值 | 平方乘積大於等於內積方 |
| 點到直線距離（向量） | d = |AP·n| / |n| | 求距離、垂足 | 法向量配一點 |
| 技巧 | 用法 | 考點 | 記憶口訣 |
|---|---|---|---|
| 內分點 | 已知比求點坐標 | 比例、共線驗證 | 交叉相乘再相加除以和 |
| 外分點 | 延長線定比求點 | 負係數、方向判斷 | 外分減號不可忘 |
| 共線條件（係數和） | OP = αOA+βOB，α+β=1 | 面積比、三點共線 | 係數和為1，線性組合任我行 |
| 內積求角 | cosθ = (a·b)/(|a||b|) | 銳角、鈍角判斷 | 內積除模積，角度現形 |
| 內積判垂直 | a·b = 0 ⇔ a⊥b | 快速求出未知坐標 | 垂直就讓內積零 |
| 正射影量 | |a·b|/|b| | 投影長度 | 除對方長度得影子長 |
| 行列式面積 | ½|det| 三角形面積 | 面積切割、共線判別 | 交叉減、半絕對 |
| 直線參數式 | P = A + t v | 求交點、軌跡 | 起點加方向倍數 |
| 柯西求極值 | (a·b)² ≤ |a|²|b|² | 最大值、最小值 | 平方和乘積限定內積 |
| 坐標化策略 | 建立直角坐標，代數解幾何 | 複雜幾何圖形 | 幾何不行就坐標 |
答案：(A)
△OAP與△OBP同高（均以O為頂點，底邊均在AB上），面積比等於底邊AP：PB = 1：2。由內分點公式，P = (2×A + 1×B) / (1+2) = (2×(1,1)+(7,4))/3 = (9,6)/3 = (3,2)。選(A)。
其他選項：(B)係數誤放；(C)搞錯比例方向；(D)為AB中點，比例不符合。
答案：(A)
設向量v=(x,y)，與u垂直 ⇒ 3x+4y=0。滿足此式的方向向量為(4, -3)或其倍數。長度 √(4²+(-3)²)=5，故(4,-3)即為所求。(B)點積12+12=24≠0；(C)點積-9+16=7≠0；(D)點積15≠0，且長度5但垂直不成立。因此選(A)唯一正確。
答對 8 題（67%）解鎖下一堂。
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