由幾何定義：\(|\vec{a}\times\vec{b}|=|\vec{a}||\vec{b}|\sin\theta\)。平行四邊形面積為兩夾邊長度乘夾角正弦，所以數值相同；若要求三角形面積，記得再乘以 \( \frac12 \)。
\( \vec{a} \) 在 \( \vec{b} \) 方向上的正射影長度為 \(|\vec{a}|\cos\theta = \frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{b}|}\)，正射影向量為 \( \frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{b}|^2}\vec{b} \)。學測若考「投影」，就是在考內積。
\((\vec{a}\times\vec{b})\cdot\vec{c}\) 可能為負，因為第三向量與外積方向夾角可能大於 \(90^\circ\)，但體積為正，故取絕對值。三向量共平面時體積為 0。
| 主題 | 核心公式 | 判讀技巧 | 學測陷阱 |
|---|---|---|---|
| 向量坐標 | \(\vec{a}=(a_1,a_2,a_3)\) | 先找起點與終點 | 方向相反要加負號 |
| 向量長度 | \(|\vec{a}|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}\) | 距離即長度 | 勿漏根號 |
| 內積 | \(\vec{a}\cdot\vec{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3\) | 對應分量相乘相加 | 內積結果是數，不是向量 |
| 夾角 | \(\cos\theta=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}\) | 內積除以兩長度 | 夾角範圍 \(0\le\theta\le180^\circ\) |
| 垂直 | \(\vec{a}\cdot\vec{b}=0\) | 非零向量時直接判垂直 | 零向量與任意向量垂直 |
| 外積運算 | \(\vec{a}\times\vec{b}=(a_2b_3-a_3b_2,\dots)\) | 寫三階行列式再展開 | 順序不可交換，\(\vec{b}\times\vec{a}\) 反向 |
| 面積 | \(|\vec{a}\times\vec{b}|\) | 三角形面積取半 | 勿忘平行四邊形 vs 三角形 |
| 法向量 | \(\vec{n}=\vec{a}\times\vec{b}\) | 找平面上兩個方向向量 | 法向量成比例仍為同一法向量 |
| 體積 | \(|(\vec{a}\times\vec{b})\cdot\vec{c}|\) | 三向量張出六面體 | 三階行列式需加絕對值 |
| 點到平面 | \(\frac{|ax_0+by_0+cz_0-d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\) | 先寫平面一般式 | 分母為法向量長度，勿忘根號 |
| 中點公式 | \(M=\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2},\frac{z_1+z_2}{2}\right)\) | 對應座標相加除以 2 | 勿與向量終點減起點混淆 |
將圖形放入空間坐標，寫出各點坐標，再求方向向量 \(\overrightarrow{AB}\)、\(\overrightarrow{AC}\)。若題目沒有座標，自行建立原點與軸向。
問「角度、垂直、投影」→ 用內積；問「面積、法向量、體積」→ 用外積；問「點到平面距離」→ 先求法向量再套距離公式。
內積：對應分量相乘相加。外積：寫三階行列式展開。計算時保留根號，先不要化成小數，避免近似誤差。
內積結果是「數值」，外積結果是「向量」，外積長度是「面積」。若題目問三角形面積，記得乘以 \( \frac12 \)。
外積計算完之後，用 \(\vec{n}\cdot\vec{a}=0\)、\(\vec{n}\cdot\vec{b}=0\) 驗算；體積、距離要加絕對值，方向才會正確。
已知 \(A(1,2,3)\)、\(B(-1,0,2)\)、\(C(0,3,4)\)，求 \(\triangle ABC\) 的面積。
【解析】取 \(\overrightarrow{AB}=(-2,-2,-1)\)、\(\overrightarrow{AC}=(-1,1,1)\)。
計算外積： \[ \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=(-1,3,-4) \] 面積 \[ \frac12|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}| =\frac12\sqrt{(-1)^2+3^2+(-4)^2} =\frac{\sqrt{26}}{2} \]
⚠️ 注意：先外積再取長度，且三角形面積要乘 \( \frac12 \)。
平面 \(E\) 通過 \(A(1,0,1)\)、\(B(0,1,0)\)、\(C(2,-1,1)\)，求 \(E\) 的方程式。
【解析】取 \(\overrightarrow{AB}=(-1,1,-1)\)、\(\overrightarrow{AC}=(1,-1,0)\)。
\[ \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=(-1,-1,0) \] 可取法向量 \(\vec{n}=(1,1,0)\)。代入 \(A(1,0,1)\)： \[ 1\cdot x+1\cdot y=1 \] 故平面 \(E\)：\(x+y=1\)。
⚠️ 法向量可同乘非零常數，所以答案也可寫成 \(kx+ky=k\) 的同義式。