看到乘法先檢查「內行數」！ AB=零矩陣，不代表 A 或 B 是零矩陣！ det(A)=0 ⇒ A 不可逆，這是秒殺題。
| 運算類型 | 公式/規則 | 常見陷阱 | 記憶口訣 |
|---|---|---|---|
| 加法 | (A+B)_{ij}=a_{ij}+b_{ij} | 必須同階 | 對位相加 |
| 純量乘法 | (kA)_{ij}=k·a_{ij} | 每個位置都乘 | 整片伸縮 |
| 乘法 | C_{ij}=Σ a_{ik}b_{kj} | 內行數相等 | 列乘行相加 |
| 交換律 | AB 不一定等於 BA | 不能隨便交換 | 左乘右乘有差 |
| 零矩陣 | 所有元素為 0 | AB=O 不代表 A 或 B = O | 零矩陣有陷阱 |
| 單位矩陣 | I_n 對角線為 1 | 與數字 1 意義不同 | 矩陣的「1」 |
| 逆矩陣 | A^{-1}=1/det(A) adj(A) | det=0 不可逆 | 主換副變號 |
| 行列式 | det(A)=ad−bc | 勿與絕對值混淆 | 叉積相減 |
| 轉置 | (A^T)_{ij}=A_{ji} | (AB)^T=B^T A^T | 轉置要調換位置 |
| 矩陣相等 | 同階且全位置相等 | 必須全部檢查 | 一個都不能少 |
例題 1：A=[[1,2],[3,4]]，B=[[0,1],[1,0]]。求 AB 與 BA，並判別兩者是否相等。
解析：AB = [[1×0+2×1, 1×1+2×0],[3×0+4×1,3×1+4×0]] = [[2,1],[4,3]]；
BA = [[0×1+1×3, 0×2+1×4],[1×1+0×3,1×2+0×4]] = [[3,4],[1,2]]。
可見 AB≠BA，且 AB 相當於將 A 的兩列交換，BA 則交換兩行。
例題 2：求 A=[[2,3],[1,4]] 的逆矩陣，並解方程組 [[2,3],[1,4]][[x],[y]]=[[5],[6]]。
解析：det(A)=2×4−3×1=5≠0，所以 A^{-1}=1/5 [[4,−3],[−1,2]]。
因此 [[x],[y]] = A^{-1}[[5],[6]] = 1/5 [[4×5−3×6],[−1×5+2×6]] = 1/5 [[2],[7]] = (2/5, 7/5)。
驗算：2×2/5+3×7/5 = 4/5+21/5=25/5=5，正確。